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$\begin{split} Z_n(\beta) & = \int_0^{+\infty}g(u) e^{-\beta u} \frac{du}{|\Lambda_u|} \\ & = \int_0^{+\infty} e^{-\beta u} P(H_n \in du) \\ & = \int_0^{+\infty} e^{-\beta u}\int_{\{\omega|H_n(\omega) \in [u + du)\}} P(d\omega) \\ & = \int_{\Lambda_n}e^{-\beta H_n(\omega)}P(d\omega) \\ & = M_{H_n}(-\beta) \end{split}$

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$\begin{align} Z&=\sum_{k_1,k_2,...,k_N}\mathrm e^{-\beta\varepsilon_{k_1}}\mathrm e^{-\beta\varepsilon_{k_2}}...\mathrm e^{-\beta\varepsilon_{k_N}}\\ &=\prod_{i=1}^N (\sum_{k_i}\mathrm e^{-\beta\varepsilon_{k_i}})\\ &=\prod_{i=1}^N Z_i\\ \end{align}\tag{22}$

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